有关线性代数的一些理解

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为什么行列式行列转置之后值不变?

考虑行列式的leibniz定义，n阶矩阵$A$的行列式定义为：

$$|A|=\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}···a_{n\sigma(n)}$$

其中$S_n$是1至n的全排列构成的集合（对称群），$\sigma$是其中的一个特定排列，$sgn(\sigma)$是该排列的符号，则对于其转置有

$$|A^T|=|B|=\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)b_{1\sigma(1)}b_{2\sigma(2)}···b_{n\sigma(n)}=\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}···a_{\sigma(n)n}$$

考虑排列$\sigma$的逆排列$\sigma^{-1}$ ，有

$$a_{\sigma(i)i}=a_{\sigma(i)\sigma^{-1}(\sigma(i))}=a_{\sigma^{-1}(k)k}$$

其中$k=\sigma(i)$

对行序号进行重排之后，原转置变为

$$|A^T|=|B|=\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}···a_{\sigma(n)n}=\sum_{\sigma^{-1}\in S_n}sgn(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}···a_{n\sigma^{-1}(n)}$$

从群论中我们学到排列与其逆排列的奇偶性相同，且这个求和对所有的排列进行了遍历，因而有

$$\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}···a_{n\sigma(n)}=\sum_{\sigma^{-1}\in S_n}sgn(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}···a_{n\sigma^{-1}(n)}$$

即$|A|=|A^T|$

几何方面的视角，等学到奇异值分解后补全

2026.3.22

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为什么副对角线行列式计算前面的系数是$(-1)^{\frac{n\times{(n-1)}}{2}}$

从几何的视角来看，行列式即是高维空间中的有向体积，而交换相邻的行（列）会让有向体积变号，而对于N阶的副对角线行列式转化为主对角线行列式则需要相邻调换$\frac{n\times{(n-1)}}{2}$次

多嘴：莫名其妙想到了冒泡排序

这时候我在想：不是说直接对换两行就变号吗，为什么一定是换相邻的变号？

事实上都是对的，对换两行和交换相邻行都会变号，因为对换两行可以看成通过不断交换相邻行达到（把上面的换下来，下面的换上去，对于相隔n行就是换了2n+1次）

在几何视角下就是翻转了所选取的两个向量构成的平面，有向体积就相当于直接变号了，写成$\frac{n\times{(n-1)}}{2}$和$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$本质上是一样的，只是前面的就很好算了

就好像形如$\begin{vmatrix}O&B\\A&C\end{vmatrix}$ 其中$A$是m阶矩阵，$B$是n阶矩阵，$|A|\times|B|$前面的系数就是$(-1)^{mn}$

2026.3.22

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为什么把行列式的某一行（列）加上其他行（列）的线性组合，行列式值不变

虽然还没有学到，但是矩阵不满秩的时候行列式值为0，当行列式不为0的时候矩阵满秩，即空间维度是满的

那么某一行显然不在其他行所构成的超平面中，就可以分解成垂直超平面和平行超平面两个分量，线性组合只能影响平行超平面的分量，但行列式的值（有向体积）只与垂直超平面的分量有关，就好像把一叠导学案推斜了题量不变一样（确信）。

klh: 诶诶祖暅原理

2026.3.22

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