有关高等数学的一些理解
有关极限和超实数（非标准分析）
在传统的高数课本中，无穷小 $\Delta x \to 0$ 被定义为一个“永远无法到达”的动态逼近过程。而在超实数系 $\mathbb{^*R}$ 中，这种动态过程被彻底取消，取而代之的是一个高维的、静态的微观宇宙：
- 无穷小量： 它不再是一个无限缩小的过程，而是一个确切存在且严格不为 0 的数字。它的绝对值小于任何正标准实数
- 无穷大量： 同理，是绝对值严格大于任何正标准实数的确切的数字
在超实数系中，每一个有限的超实数都可以唯一分解为：标准实数 + 无穷小量
由此引入了算子标准部分 $\text{std}()$（趋核运算, 其实就是求极限）：$ \text{std}(x + dx) = x $
它的几何意义是从超实数系向实数系降维投影，将带有无穷小毛刺的超实数，锚定回标准实数轴上的“核值”
为什么必须先进行实数运算，后进行趋核运算？
趋核速度（无穷小的阶）：极限的博弈本质上是速度的较量。$dx^2$ 缩水归零的速度无限快于 $dx$
信息丢失：对于未定式如果提前向实数系投影，超实数系里的结构信息（相对变化率）会彻底丢失
无穷大不是核值：0 是合法的宏观锚点，但 $\infty$ 是一种发散的爆炸状态，因此无法对其进行趋核
xhs上很多人说张宇的超实数讲的云里雾里，但是我感觉三十讲里面还是很有意思且很本质的
在我看来，进入超实数系最精妙的就是引入了阶的概念
等价无穷小并不是相等，而是比值的标准实数部分相等（非零实数）
“0是最高阶的无穷小” 30讲上看到这句话的时候真的是感觉很美妙
高中的时候学物理是直接对无穷小进行运算的（我管你这那的），原来物理学家早就发现了非标准分析（雾）
2026.5.13
存在，连续和可导
“给了一个x，就有一个y对应在那里，它附近的点X们对应的Y们也是如此……函数存在是y和Y们无牵无挂的呆在那里，函数连续是y和Y们充分靠近，导函数存在是y和Y们不仅充分靠近，而且靠近的速度更快，连续曲线不是曲线不断开，恰恰相反，它每一个位置都是断开的，就算Y们靠的更近比如可导，也只是靠的更近而已，依然是断开的。”
“可导是说，它们不仅依偎在一起，而且Y们靠近y的速度不会比X们靠近x的速度慢，也就是速度一样或者速度更快。”
——《张宇30讲》
1. 存在：
现代数学中的函数并非一条物理意义上连绵不断的实体线条，而是由无数个孤立的“有序数对”构成的集合；“给了一个 $x$，就有一个 $y$ 对应” 意味着这些点在坐标系中各自独立、冷漠且没有任何先天的物理连接，它们就像宇宙中悬浮的散沙，无牵无挂地占据着自己的坐标，展现了函数最原始且不受任何约束的离散本质。
2. 连续：
连续并不是用某种几何胶水将零维的点粘合在一起，而是建立在超实数系上的一道微观纪律，它规定：当自变量 $x$ 发生一个非零的无限小偏移 $dx$ 时，因变量的增量 $\Delta y$ 也必然是一个无限小量。这种代数约束，保证了函数在微观下被死死限制在同一个单子内部，绝对禁止产生任何宏观实数距离，从而逼迫这些本质上互不相连的孤立点，排布成了一个在我们眼中严丝合缝的稠密阵列。
3. 可导：
单纯的连续只要求 $\Delta y$ 是一个无限小量，但它对速度极其宽容，允许 $\Delta y$ 是一个“跑得非常慢”的无限小（例如 $\Delta y = \sqrt{dx}$）
而在超实数系中，求导的本质是计算两者在微观下的相对比例，即求比值 $\frac{\Delta y}{dx}$ 的标准实数部分。
如果 $Y$ 靠近 $y$ 的速度比 $X$ 慢（$\Delta y$ 是低阶无限小），那么在这个微观除法中，分母 $dx$ 缩小得太快，会导致整个比值瞬间爆炸成一个发散出去的“无限大”，从而没有对应的标准实数部分，在几何上化作不可导的垂直。
因此，为了让导数安全坍缩成一个合法的实数，$\Delta y$ 缩小的速度，绝不能拖 $dx$ 的后腿——它必须与 $dx$ 保持严格的同频同步（速度一样，同阶无限小，斜率为常数），或者比 $dx$ 缩小得还要猛烈（速度更快，高阶无限小，斜率为零）
虽然不可导时比值发散到无穷大，但是直觉上会感觉 “诶这个无穷大能不能比阶” ，实际上也是可以并且有应用的，这里不展开。
“诶诶不展开哦不展开” ——一位哲人
2026.5.22
尖点的平滑化——带绝对值的可导性
假设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，函数 $F(x) = f(x)|x - a|$ 在 $x=a$ 处的可导性分析：
1. 导数的定义
根据导数的定义有
$$F'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)|x - a| - f(a)|a - a|}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)|x - a|}{x - a}$$
分别考虑左右极限：
$F'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)(x-a)}{x-a} = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
$F'_-(a) = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x)(-(x-a))}{x-a} = \lim_{x \to a^-} (-f(x)) = -f(a)$
2. 可导的充要条件
由 $F'_+(a) = F'_-(a)$ 得
$$f(a) = -f(a) \implies 2f(a) = 0 \implies f(a) = 0$$
结论：当且仅当 $f(a) = 0$ 时，$F(x)$ 在 $x=a$ 处可导，且此时 $F'(a) = 0$
3. 几何直觉
- 尖点效应：$|x-a|$ 在 $x=a$ 处存在不连续的斜率（左侧 $-1$，右侧 $+1$）
- 平滑化：$f(x)$ 必须在 $x=a$ 处取零，才能消除左右斜率的差异，使曲线在该点处变得平滑。
对于绝对值内较复杂的多项式可以因式分解，利用 $|f(x)g(x)h(x)|=|f(x)||g(x)||h(x)|$ 拆开
“一定要回归定义” ——一位哲人
2026.5.22